Tag Archives: Statistics

‘How to Bake Pi,’ by Eugenia Cheng

Eugenia_Cheng_How_to_Bake_Pi_Cakes_Custard_Category_Theory

சிகாகோ கலைக் கல்லூரியில் கணிதப் பேராசிரியருக்கு என்ன வேலை? ஓவியமும் சிற்பமும் வடிப்பவர்களுக்கும் கணக்கு வாத்தியாருக்கும் என்ன சம்பந்தம்? அதை விளக்கத்தான் யூஜினியா செங் வந்திருக்கிறார்.

திட்டவட்டமான உருவமற்ற கற்பனையான விஷயங்களை அருவமாக உணர்ந்து அப்பூதியாக புரிந்துகொண்டு எண்ணமாக உருவாக்குபவர்கள் “கலைஞர்கள்”. அதே போல் திட்டவட்டமாக வகுக்கமுடியாத விஷயங்களுக்கு ஒரு பகுப்பு கொடுத்து, அதை விளக்குபவர்கள் “கணிதயியலாளர்கள்”. லண்டனில் இருக்கும் புனித பால் தேவாலயத்தில் (செயிண்ட் பால் கதீட்ரல்) எவ்வாறு கணிதம் பங்களிக்கிறது என்பதையும் மாரத்தான் ஓட்டத்தில் கணக்கு எப்படி முக்கியம் என்பதையும், தக்காளியை ஏன் காய்கறியில் சேர்க்கிறோம் என்பதையும் πயை எப்படி உண்டாக்குவது – கணிதத்தின் கணிதம் குறித்து உணவு வழி ஆராய்ச்சி (How to Bake Pi: An Edible Exploration of the Mathematics of Mathematics) நூலில் அறிமுகம் செய்கிறார்.

கணிதத்தைக் குறித்து இருக்கும் நம்பிக்கைகளை முதலில் பார்ப்போம்:

கணக்கு என்பது எண்களும் எண்கள் சார்ந்தவையும்

செல்பேசி என்பது நண்பருடன் பேசுவதற்கானது மட்டுமே என்று நம்புவதைப் போல், இந்த நம்பிக்கை முட்டாள்தனமானது. செல்பேசியில் மற்றவரை அழைக்கலாம்; உரையாடலாம். அதில் விளையாடவும் செய்யலாம். கூடவே, மின்னஞ்சல் அனுப்பலாம்; பாட்டு கேட்கலாம். அதே போல் கணிதம் என்பது எண்களை வைத்து கணக்குப் போடுவதற்கும் பயன்படும்; ஆனால், அது தவிர நூற்றுக்கணக்கான மற்ற விஷயங்களையும் கொண்டிருக்கிறது.

கணக்கு என்பது சரியான விடையைப் பெறுவது

விளையாட்டில் வெற்றியடைய வேண்டும் என்பதற்காக விளையாடுகிறோம் என்பது சொல்வது போல் இது இருக்கிறது. ஆட்டம் ஆடும்போது வெல்லத்தான் எண்ணுகிறோம். ஆனால், வெற்றியை விட, நண்பர்களுடன் ஓடியாடி ஆடுவது முக்கியம். உடற்பயிற்சியை ஊக்கத்துடன் செயலாற்றுவது அதனினும் முக்கியம். அடுத்த முறை, அதே ஆட்டத்தை, இன்னொரு இடத்தில் ஆடும்போது — திறன்பட விளையாட, புதிய நுணுக்கங்களைக் கற்றுக் கொள்வது முக்கியம். எதைச் சரியாக செய்தோம், எங்கே இன்னும் நன்றாக ஆடலாம் என்று புரிந்து கொள்ளும் வழிமுறையை அறிவது இன்னும் முக்கியம்.

கணக்கு என்பது சரி அல்லது தப்பு என்பதைக் குறித்தது

துணியைத் தைப்பதற்குக் கொடுக்கிறோம். தையற்காரரும் அதைத் தைத்துக் கொடுக்கிறார். சில சமயம் சரியாக அமைவதில்லை. ஒழுங்காக இல்லை எனப்படும் ஆடை, சில சமயம் நாகரிகமாகிவிடும். பெல்பாட்டாம் என்னும் தொள தொளா கால்கள் கொண்ட காற்சட்டை, ஒரு காலத்தில் சரியானதாக இருந்தது. இப்பொழுது தவறாக இருக்கிறது. முட்டியில் கிழிந்த கால்சட்டைகள், ஒரு காலத்தில் நகைப்புக்கு உள்ளாகியது. இப்பொழுதோ, புத்தம்புதிய ஜீன்ஸ் வாங்கி, கால் முட்டியைக் கிழித்துக்கொள்வது சரியான விஷயமாகி இருக்கிறது. கணக்கிற்கே வருவோம். 10 + 4 = 2 என்று சொன்னால் தப்பு என்போம். ஆனால், அதே கணக்கை, கடிகாரத்தில் போட்டால், பத்து மணியோடு நான்கு மணி நேரத்தைக் கூட்டினால், மதியம் இரண்டு வருகிறதே!

’கூட்டிக் கழித்துப் பார்… கணக்கு சரியாக வரும்’ என்று அண்ணாமலை திரைப்படத்தில் சூப்பர் ஸ்டார் ரஜினியிடம் தொழிலதிபர் இராதாரவி இதைத்தான் சொன்னாரா?

நீங்கள் கணிதவியலாளரா? அப்படியானால் புத்திசாலியாகத்தான் இருப்பீர்கள்!

இது எப்படி இருக்கிறது என்றால், கம்ப்யூட்டரில் வேலை செய்வோர் எல்லாம் அறிவாளியாக இருப்பார்கள் என்று எண்ணுவதைப் போலத்தான் இருக்கிறது. கணினியில் புழங்குவது எளிமையானது. அதே போல் கணிதத்தில் உழல்வதும் சுளுவானதுதான். நான் பள்ளியில் படித்தபோது எந்த விளையாட்டிலும் மிளிர்ந்தது கிடையாது. ஏனென்றால், விளையாட்டில் பங்குபெறுவோர் படிப்பில் பரிமளிக்கக் கூடாது என்பது எழுதப்படாத விதியாக இருந்தது. இரண்டாவது விதியாக, விளையாட்டில் பங்குபெற ஆஜானுபாகுவான தோற்றம் கொண்டிருக்கவேண்டும் என்று கருதப்பட்டது. ஆனால், இது எல்லாமே கட்டுக்கதை. இப்பொழுது கூட நான் தினசரி ஐந்து கிலோமீட்டர் ஓடுகிறேன். உடல் பயிற்சியில் உற்சாகமாகப் பங்குபெறுகிறேன். ஆனால், அமெரிக்க கால்பந்து என்றால் காத தூரம் ஓடுகிறேன். அதாவது, திறன் வாய்ந்த உடல் பெறுவது என்பது விளையாட்டில் சாமர்த்தியசாலி என்பதோடு சம்பந்தப்பட்டது அல்ல. புத்திகூர்மை அதிகம் பெற்றவர்தான், கணிதத்தில் சிறந்து விளங்குவார் என்பதும் பொருத்தம் அல்ல.

கணிதத்தில் என்ன ஆராய்ச்சி வேண்டியிருக்கிறது! புதியதாக புத்தம்புதிய எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா என்ன?

இந்தப் புத்தகம்தான் இந்தக் கேள்விக்கான விடை என்கிறார் யூஜினியா செங்.

உத்தியும் உத்தி சார்ந்த வழிகளும்

கணிதத்தைக் குறித்து விளக்க, இந்தப் புத்தகம் நெடுக சாப்பாட்டு விஷயங்களையும் கேக் வகையறாக்களையும் கையில் எடுத்திருக்கிறார் யூஜினியா செங். கடைக்கு செல்கிறீர்கள். அங்கே புத்தம்புதிய மிக்ஸியைப் பார்க்கிறீர்கள். வாங்கியும் விட்டீர்கள். இப்பொழுது சட்டினி செய்து பார்க்கும் ஆவல் எழும். காலை எழுந்தவுடன் பழரசம் உண்பதற்கும் ஆசை பிறக்கும். வித விதமான துவையல் அரங்கேறும். சாதாரணமாக சப்பாத்தி செய்துவிட்டு, அதற்கு என்னத் தொடுக்கொள்ளலாம் என்று யோசிப்போம். ஆனால், மிக்ஸி கிடைத்தவுடன், அரைத்து விட்ட குழம்பு செய்துவிட்டு, சூப் போல் அதை உண்ண முடியுமா எனக் கூட யோசிப்போம்.

கணக்கும் இதே கதைதான். ஒரு உத்தியைக் கண்டுபிடிக்கிறோம். பிறகு, அதே உத்தியை வேறு எங்கெல்லாம் நுழைக்கலாம் என ஆராய்கிறோம்.

ஒவியங்களையே எடுத்துக் கொள்ளலாம். புள்ளிகளால் உருவாகும் ஓவியம் என்பார்கள்; சதுரமும் செவ்வகமும் கொண்டு உருவாகும் ஓவியம் என்பார்கள்; உணர்வுப்பதிவுவாதம் (இம்ப்ரெஷனிஸம்) என்பார்கள்; அதாவது, எந்த வழிமுறையை பயன்படுத்துகிறோமோ, அதைக் கொண்டு அந்த ஓவியத்தை சட்டகத்திற்குள் அடைக்கிறார்கள். என்ன வரைந்தார்கள், எதை உணர்த்துகிறார்கள், என்ன விஷயங்களை கோடிட்டுக் காட்டினார்கள் என்பதைக் கொண்டு அந்த ஓவியங்களை வகுக்கவில்லை.

தமிழ்ப்படங்களில் கூட இந்த வகுப்புமுறையை பார்க்கலாம். வடிவேலு வருகிறாரா… அப்படியானால் நகைச்சுவை காட்சி. சமந்தா வருகிறாரா… காதல் காட்சி. நாலைந்து அடியாள் காண்பிக்கப்படுகிறார்களா… அடிதடி சண்டைக் காட்சி. இந்த வட்டத்திற்குள்தான் சினிமா சுழல்கிறது. வில்லன் நடிகர்களுக்குள் காதல் மலர்வதில்லை.

இதற்கு கணக்கில் தருக்கம் (லாஜிக்) என்று பெயரிட்டு இருக்கிறார்கள். பரிசோதனைகளை நம்புவதை விட, கள ஆய்வுகளில் காலம் செலுத்துவதை விட, கண்மூடித்தனமான நம்பிக்கைகளை விட, சுதந்திரமான மக்களாட்சியிலோ, வன்முறையிலோ இறங்குவதை விட அறிவுப்பூர்வமான ஏரணங்களை நிலைநாட்டுவதில் கவனம் கொண்டிருப்பது கணக்கு. இந்த நூலில் மூன்று விஷயங்களை அந்தக் கணக்கில் இருந்து எடுத்துக் கொண்டு விரிவாக ஆராய்கிறார்:

1. நுண்மமாக்கல் (abstraction) – எக்ஸ், ஒய் என்று எல்லாவற்றையும் சுருக்கி எண்ணமாக்கும் அல்ஜீப்ரா போன்ற கணக்கு
2. பொதுவாக்கல் (generalization) – உருண்டைக் குழம்பிற்கான உருண்டையும் மிக்ஸியில் இருந்து வரும்; குழம்பிற்கான விழுதும் மிக்ஸியில் இருந்து வரும். அதே போல், முக்கோணத்தில் இருந்து கூம்புகளும் வரும்; கோவில் கலசங்களும் தேவாலயங்களும் உண்டாகும்.
3. பகுப்பியல் கோட்பாடு (Category theory) – கணிதத்திற்கான கணிதம் என்கிறார். தருக்கத்தை நம்பி கணிதத்தின் பிழைப்பு ஓடுகிறது என்றால், அந்தக் கணக்கில் எந்த அடுக்குகள் முட்டுக்கொடுத்து கணிதத்தை நிலைநிறுத்துகின்றன என்று ஆராய்ந்து பகுத்தறியும் கலையின் படிப்பு.

தியாடோர் பாஸ்கரன் போல் பறவைகளின் மீது உங்களுக்கு காதல் என்று வைத்துக் கொள்வோம். அதன் பழக்கவழக்கங்களை ஆராய்கிறீர்கள். என்ன சாப்பிடுகிறது, எப்பொழுது கண்டம் விட்டு கண்டம் தாவுகிறது, எப்படி கூடு கட்டுகிறது, எவ்வாறு இரை தேடுகிறது, எங்ஙனம் தன்னுடைய இடத்தை கண்டிப்பாக நிர்ணயித்து மற்ற ஜந்துக்களை அணுகாமல் அடைகாக்கிறது என்றெல்லாம் தெரிந்து கொண்டு இருக்கிறீர்கள். ஆனால், காகத்தில் இருந்து மயில் உண்டாக்க முடியாது. சிறிய பறவையில் இருந்து புத்தம்புதிய பெரிய பறவையை உருவாக்க இயலாது. இது ”பொதுவாக்கல்”.

அதே போல் ஒட்டகச்சிவிங்கியில் இருந்து வான்கோழியை படைக்க முடியாது. பறவையல்லாத ஜந்துவில் இருந்து மாயமந்திரம் செய்து பறவையை கொணர இயலவில்லை. இது ”நுண்மமாக்கல்”.

ஒன்று, இரண்டு, மூன்று என்றால் உங்களுக்குப் புரியும். அதே சமயம் ஆங்கிலேயருக்கு, ஒன், டூ, த்ரீ என்றால் மட்டுமே புரியும். இந்திக்காரருக்கோ, ஏக்,தோ, தீன் என்றால் விளங்கும். இதுவும் ஒருவகை ”நுண்மமாக்கல்”. இந்த மாதிரி சுவாரசியமான அன்றாட கணக்குகளையும் புரிதல்களையும் பளிச்சிட வைக்கிறார் யுஜினியா.

இந்தப் புத்தகத்தின் வெற்றி என்பது கணிதவியலாலர்கள் எவ்வாறு சிந்திக்கிறார்கள் என்று உணர்த்துவதில் இருக்கிறது. எந்த சூத்திரத்தை எவ்வாறு ஆராய்கிறார்கள் என்று நுணுக்கமாக விவரித்து கணிதப் புத்தகத்தில் மூழ்கடிக்காமல், கணித வழிமுறைகளை எண்ணுவதற்கு பாதை காட்டி இருக்கிறார் யூஜினியா. இந்த மாதிரி கடினமான விஷயங்களை விளக்கும்போது, சாதாரணமாக நீர்த்துப்போகுமாறு விளக்குவதுதான் நிதர்சனம். நிறைய புத்தகங்கள் விற்று, நியு யார்க்கர் போன்ற வணிக சஞ்சிகைகளில் இடம்பெறுவதற்கான சூத்திரமும் அதுவாகவே இருக்கிறது. ஏதாவதொரு சம்பவத்தை கதை போல் விளக்கி, அந்த புகழ்பெற்ற விஷயத்தை வைத்து, அறிவியலை எளிமையாக்கி பெஸ்ட்செல்லர் பட்டியலில் இடம்பிடிக்கலாம். இந்த மாதிரி போலி மாயாஜாலங்களில் யுஜினியா புகவில்லை. அவரோ கலைக்கல்லூரியில் கணிதம் பயிற்றுவிப்பவர். கேக் எப்படி செய்வது என்று சொல்லிக்கொண்டே கேக் சாப்பிடுவது போல் கணிதத்தின் நுணுக்கங்களுக்கு தூண்டில் போட்டு அழைக்கிறார்.

Eugenia_Cheng_Cakes,_Custard_and_Category_TheoryHow to Bake Pi: An Edible Exploration of the Mathematics of Mathematics
By Eugenia Cheng
Illustrated. 288 pp. Basic Books. $27.50.

மேலும்:

Life Is What Happens When You Are Busy Making Other Plans

நான் அமெரிக்கா கிளம்புவதற்கு இரண்டு நாள் முன்பு ஏர் ஃபிரான்ஸ் விமானம் நடுவானில் காணாமல் போனது. என்னை வழியனுப்ப, சொல்லிக் கொள்ள, ஆசீர்வதிக்க வந்த அனைவருமே, ஏனோ இந்த செய்தியை எனக்கு சொன்னார்கள்.

எங்கள் வீட்டிலும் தி ஹிந்து வாங்குகிறார்கள் என்பதை அறிந்திருந்தும் இந்த நிகழ்வை சுட்டிக் காட்டிப் பேச்சைத் துவக்கினார்கள்.

நானும் அவர்களுக்கு அமெரிக்க மாமா கதையை அலுக்காமல் சொல்லி ஆறுதல் அளித்தேன்.

ஹைவேயில் வேகமாகப் போகிறோம். சடாரென்று கொஞ்ச தூரத்தில் போலீஸ் கார் தென்படுகிறது. ஒன்றும் தெரியாத பூனைக்குட்டி போல் இரண்டு அப்பாவி கார்களுக்கு நடுவில் சொருகிக் கொண்டு, பம்மி, பாவனையாகக் கடக்கிறோம்.

அடுத்த பத்து, இருபது மைல்களுக்கு கவலை வேண்டாம். உடனடியாக இன்னொரு காவல்துறை வண்டி இருக்காது. திருப்பத்திற்கொரு போக்குவரத்து காவலர் இருக்கமாட்டார் என்பது விதி அல்ல; சம்சயம்.

அதே போல் காலாண்டுக்கு ஒரு விமான விபரீதம்தான் நிகழும் என்பது ஒருவிதமான மனப்பிராந்தி ப்ராபபிளிடி.

ஆனால் விதி வலியது.

இப்படி நினைத்து வேகமூட்டும்போது, கையுங்களவுமாகப் பிடிக்கப்பட்டு $300 தண்டம் அழுததுண்டு.

அதை விட இந்த அம்மணியின் நிலை பரிதாபமானது

Woman who missed Flight 447 is killed in car crash – Times Online

பிரேசிலில் விடுமுறை. ரொம்பவே உல்லாசமாக இருந்ததாலோ என்னவோ, பாதுகாப்பு பரிசோதனைக்கு தாமதமாக வந்துசேர்ந்து, போய்ச்சேர வேண்டிய விமானத்தைத் தவறவிடுகிறார். மரணத்தையும் தட்டிக் கழிக்கிறார்.

காலன் கைவிடவில்லை.

God’s contingency plan வந்துசேர, சாலை விபத்தில் இறந்துவிட்டார்.

சாமர்செட் மாமின் கதையான Appointment in Samarraவை ஸ்ரீகாந்த் பரிந்துரைத்திருந்தார்.

சாமான் வாங்கிவர சந்தைக்கு செல்லும் வேலைக்காரர் அரக்க பரக்க ஓடி வருகிறார்.

‘பெண்ணைக் கண்டேன்… பேயைக் கண்டேன்’

‘ஒழுங்கா சொல்லுடா!’

‘நீ சாவப் போறேன்னு மரணதேவதை சொல்லிடுச்சு. நான் ஓடி ஒளியணும்.’

அந்தக்காலத்தின் அதிகாரபூர்வ நடராஜா சர்வீசுக்கு பதிலாக, தன் குதிரையைக் கொடுத்து வேலைக்காரரை எழுபத்தைந்து மைல் தள்ளியிருக்கும் சமரா நகருக்கு துரிதகரமாக அனுப்பி வைக்கிறார் வியாபாரி.

அப்படியே சந்தைக்கும் சென்று காலதூதரை கண்டுபிடித்து ‘ஏன் சின்னப் பையனை பயமுறுத்தினாய்?’ என்று குறுக்கு விசாரணையும் நடக்கிறது.

‘இன்னிக்கு ராத்திரி அவனை சமராவில் நான் கொல்லணும். இன்னும் இங்கேயே இருந்தா எப்படி! அதனால்தான் போக வைத்தேன்…’ என்கிறது எமன்.

சின்ன வயதில் இந்த மாதிரி கதையொன்றை இந்து மதக் குறியீடுகளைக் கொண்டு கேட்ட ஞாபகம்…

சட்டென்று நினைவுக்கு வரவில்லை.

‘நாளை வருவேன்’ என்று விநாயகரிடம் சனி ஏமாந்ததும், ‘என்றும் பதினாறு’ மார்க்கண்டேயர்களும் தவிர இப்படி துரத்தி செலுத்தப்பட்டவர் எவரேனும் இருக்கிறாரா?

யார் எப்படி வாக்களித்தார்கள்?

Vote by Sex

Obama

McCain

Others/NA

Male (47%)

49%

48%

3%

Female (53%)

56%

43%

1%

Vote by Sex and Race

Obama

McCain

Others/No Answers

White Men (36%)

41%

57%

2%

White Women (39%)

46%

53%

1%

Black Men (5%)

95%

5%

N/A

Black Women (7%)

96%

3%

1%

Latino Men (4%)

64%

33%

3%

Latino Women (5%)

68%

30%

2%

All Other Races (5%)

64%

32%

4%

Vote by Race

Obama

McCain

Others/NA

White (74%)

43%

55%

2%

African-American (13%)

95%

4%

1%

Latino (9%)

67%

31%

2%

Asian (2%)

62%

35%

3%

Other (3%)

66%

31%

3%

Vote by Age

Obama

McCain

Others/NA

18-29 (18%)

66%

32%

2%

30-44 (29%)

52%

46%

2%

45-64 (37%)

50%

49%

1%

65 and Older (16%)

45%

53%

2%

Vote by Age and Race

Obama

McCain

Others/NA

White 18-29 (11%)

54%

44%

2%

White 30-44 (20%)

41%

57%

2%

White 45-64 (30%)

42%

56%

2%

White 65 and Older (13%)

40%

58%

2%

Black 18-29 (3%)

95%

4%

1%

Black 30-44 (4%)

96%

4%

N/A

Black 45-64 (4%)

96%

3%

1%

Black 65 and Older (1%)

94%

6%

N/A

Latino 18-29 (3%)

76%

19%

5%

Latino 30-44 (3%)

63%

36%

1%

Latino 45-64 (2%)

58%

40%

2%

Latino 65 and Older (1%)

68%

30%

2%

All Others (5%)

64%

33%

3%

பிற்சேர்க்கை:

Voters Cast Their Ballots With the Economy in Mind, Exit Polls Indicate – WSJ.com

race-us-elections-2008-obama-mccain-african-american

வெள்ளையர்கள் ஓட்டு எப்படி பிரிந்துள்ளது: இனவாரியான வாக்கு சதவீதம்

பத்து நாள்களும் இருநூறு பதிவுகளும்

நவம்பர் நான்காம் தேதி செவ்வாய்க்கிழமையோடு அமெரிக்க தேர்தல் மேளா இனிதே முடிகிறது. இன்னும் பத்து நாள்கள் கூட இல்லை.

இதுவரை இந்த வலைப்பதிவும் வலைவிவரங்களும்:

இடுகைகள்: 200
பகுப்புகள்: 36
குறிச்சொற்கள்: 757
மறுமொழிகள்: 594

மொத்தப் பார்வை: 21,160
மிக அதிக வருகையாளர் வந்த தினம்: நேற்று, அக். 24
எண்ணிக்கை: 879

வருகையாளர்களுக்கும் விஐபி விருந்தினர்களுக்கும் நன்றி!

தேடல் புராணம்

1. ‘arrogance‘ என்று கூகிளில் தேடினால், இந்த வலைப்பதிவுக்கு முதலிடம் கிடைத்திருந்தது. இப்பொழுது மாற்றிக் கொண்டுவிட்டது. (குறிப்பிட்ட பதிவு: DE-MOTIVATIONAL POSTERS « Snap Judgment)

2. கூகிளின் பக்க தர வரிசை

அ) தமிழ் நியூஸ் மீண்டும் ஆறு (முந்தைய பதிவு: Google Page rank – Tamil News)
– ஆறில் ஆரம்பித்து, ஐந்தாக மாறி இருந்த நிலையில், மீண்டும் ஆறு. இதன் அடிப்படை புரியவில்லை. வெறும் 22 புதிய இடுகை மட்டுமே வந்த ஏப்ரல் போல் தேய்ந்து கொண்டிருக்கும் பதிவு தேடல்களுக்கு முக்கியமாகிறதா!?

ஆ) திரட்டிகளில் தமிழ்மணம் மட்டுமே ஐந்து; மற்ற மூன்றும் நான்கு.

இ) கில்லி – நான்கில் இருந்து ஐந்து.

ஈ) தேசிபண்டிட் – ஆறோ/ஏழோ இருந்தது. இப்பொழுது மூன்று. ஏன்!

உ) ஈ-தமிழ் – 5 –> 3

ஊ) சற்றுமுன் – 3 –> 4

எ) வோர்ட்பிரெஸ் பதிவுகள்: அலசல், தமிழில் பங்குவணிகம், தாளிக்கும் ஓசை – 5

ஏ) பிற வோர்ட் பிரஸ்: கவிதைச் சாலை, அமெரிக்க ஜனாதிபதி தேர்தல், திரை விமர்சனம் – 4/10

3. தேடல் வார்த்தைகள்

  • why was the sentence of worldcom ceo bernie ebbers so stringent (25 years in prison)
  • he may be a god but he is no politician
  • send article to kumudum magazine
  • in which film nayandara kissed simbu
  • nayanthara is a bitch
  • is nayanthara older than simbu
  • chameleon green wedding
  • where can i find i-pill in pondicherry
  • konar tamil notes
  • pornofication